Ζυμώνουμε τα υλικά του φύλλου πολύ καλά, τουλάχιστον 10 λεπτά στο μίξερ ή 20 λεπτά στο χέρι. Η ζύμη για φύλλο βέργας είναι έτοιμη όταν είναι λεία, γυαλιστερή, με απόλυτη συνοχή. Αλείφουμε τη ζύμη και τα χέρια μας με λάδι όσο ζυμώνουμε για να μην κολλάει. Αφήνουμε σκεπασμένη, να χαλαρώσουν οι δεσμοί της γλουτένης για να μπορέσουμε να ανοίξουμε φύλλο. Τουλάχιστον μισή ώρα.

Βράζουμε το κοτόπουλο με τα κρεμμύδια κομμένα δρεπανωτά, λίγο λάδι, αλάτι, πιπέρι και νερό να τα σκεπάζει για 1 ώρα στη χύτρα. Βγάζουμε το κοτόπουλο και το ξεψαχνίζουμε. Βάζω το ψαχνό σε μπολ μαζί με τα κρεμμύδια και το ζωμό. Το μίγμα είναι νερουλό.

Ανοίγουμε ένα φύλλο, το ψήνουμε στους 180 βαθμούς στο φούρνο, το τρίβουμε και το ρίχνουμε στο μίγμα να πάρει τα υγρά.

Ανοίγουμε 5-6 φύλλα και τα στρώνουμε σε ταψί, αλείφοντας λάδι ανάμεσά τους.

Ρίχνουμε το μίγμα της γέμισης, γυρίζουμε τα πλαϊνά σε κόθρο. Βρέχουμε και λαδώνουμε τα γύρω φύλλα. Η πίτα είναι ξεσκέπαστη για να εξατμιστούν τα περίσσια υγρά.

Ψήνουμε στους 180 βαθμούς, σε καλά προθερμασμένο φούρνο.

Για το ψήσιμο της πίτας, το καλύτερο ταψί είναι το χάλκινο και το επόμενο το αλουμίνιο.